Numerická matematika (2011049)
Katedra:ústav technické matematiky (12101)
Zkratka:Schválen:03.11.2096
Platí do: ??Rozsah:2P+2C
Semestr:4Kredity:4
Zakončení:Z,ZKJazyk výuky:CS
Anotace
Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a
gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda
nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,
počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.
Vyučující
Ing. Vladimír Hric Ph.D.
Letní 2023/2024
Ing. David Trdlička Ph.D.
Letní 2023/2024
Ing. Lukáš Hájek
Letní 2022/2023
Ing. David Trdlička Ph.D.
Letní 2022/2023
doc. Ing. Luděk Beneš Ph.D.
Letní 2021/2022
Ing. Vladimír Hric Ph.D.
Letní 2021/2022
Ing. David Trdlička Ph.D.
Letní 2021/2022
Osnova
• Gaussova eliminace a LU rozklad. Princip iteračních metod. Normy a spektrální poloměr matice.
• Prostá a Jacobiova iterační metoda, Gaussova–Seidelova iterační metoda, podmínky konvergence.
• Soustavy nelineárních rovnic. Existence a jednoznačnost řešení. Iterační metody – Newtonova metoda.
• Numerické řešení Cauchyovy úlohy pro rovnici 1.řádu a pro soustavu v normálním tvaru.
• Cauchyova úloha pro rovnici n–tého řádu jako speciální případ. Princip jednokrokových metod typu Runge–Kutty.
• Eulerova metoda 1. řádu a metody typu Runge-Kutty 2. řádu. Praktické použití metod.
• Problematika řešení okrajových úloh pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici 2. řádu, porovnání s Cauchyovou úlohou. Existence a jednoznačnost řešení. Numerické řešení Dirichletovy úlohy. Princip metody sítí, konvergence metody.
• Numerické řešení lineárních parciálních diferenciálních rovnic 2.řádu dvou nezávisle proměnných metodou sítí.
• Klasifikace rovnic. Formulace základních úloh pro rovnice matematické fyziky (Laplace a Poisson, vedení tepla a vlnová rovnice)
• Diferenční náhrady prvé a druhé derivace funkce, řád aproximace.
• Princip metody sítí pro řešení jednotlivých typů úloh. Explicitní schéma pro rovnici vedení tepla a pro vlnovou rovnici.
Osnova cvičení
1. Normy vektorů a matic. Matice ostře diagonálně dominantní (ODD) a symetrická pozitivně
definitní (SPD). Vlastní čísla a vektory matice, spektrální poloměr.
2. Prostá iterační metoda. Podmínky konvergence, výpočet postupných aproximací.
3. Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda. Podmínky konvergence, výpočet postupných
aproximací.
4. Aproximace metodou nejmenších čtverců.
5. Soustavy nelineárních rovnic. Newtonova metoda.
6. Cauchyova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Numerická aproximace
explicitní a implicitní Eulerovou metodou.
7. Cauchyova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Numerická aproximace
pomocí jednokrokových metod Runge-Kutta. Collatzova metoda.
8. Numerická aproximace vybraných úloh z technické praxe. Použití jednokrokových metod
Runge-Kutta. Collatzova metoda a metody vyššího řádu.
9. Okrajová úloha pro obyčejnou lineární diferenciální rovnice 2. řádu v samoadjungovaném
tvaru. Metoda sítí
.
10. Dirichletova okrajová úloha pro Poissonovu rovnici a její aproximace metodou sítí.
11. Smíšená úloha pro rovnici vedení tepla. Numerické řešení metodou sítí explicitním a
implicitním schématem.
12. Smíšená úloha pro vlnovou rovnici. Numerické řešení metodou sítí explicitním a implicitním
schématem.
Literatura
1. Benda, J., Černá, R.: Numerická matematika, doplňkové skriptum, FS ČVUT v Praze, 1991
2. Vitásek, F.: Numerické metody, SNTL, Praha, 1987

Požadavky
Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a
gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda
nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,
počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.
Klíčová slova
Numerická matematiky, metody lineární algebry, nelineární algebraické systémy, interpolace, aproximace, obyčejné diferenciální rovnice, okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice, metoda sítí.
data online/KOS/FS :: [Helpdesk] (hlášení problémů) :: - datum tisku: 1.3.2024, 5:51 © 2011-2022 [CPS] v3.8 (master/4ba2e75e/2023-03-03/01:20)