česky  čs
english  en
Numerická matematika (2011049)
Katedra:ústav technické matematiky (12101)
Zkratka:Schválen:03.11.2096
Platí do: ??Rozsah:2P+2C
Semestr:4Kredity:4
Zakončení:Z,ZKJazyk výuky:CS
Anotace
Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a
gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda
nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,
počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.
Vyučující
doc. Ing. Luděk Beneš Ph.D.
Letní 2018/2019
Ing. Jiří Holman Ph.D.
Letní 2018/2019
Ing. Jan Karel Ph.D.
Letní 2018/2019
doc. Ing. Luděk Beneš Ph.D.
Letní 2017/2018
Ing. Jiří Holman Ph.D.
Letní 2017/2018
doc. Ing. Luděk Beneš Ph.D.
Letní 2016/2017
Ing. Jiří Holman Ph.D.
Letní 2016/2017
doc. RNDr. Petr Sváček Ph.D.
Letní 2016/2017
Osnova
1. Norma a spektrální poloměr matice. Vlastnosti matic. Princip iteračních metod a metoda prosté
iterace.
2. Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda. Podmínky konvergence.
3. Minimalizace funkce a gradientní metody. Metoda největšího spádu. Aproximace metodou
nejmenších čtverců. Odvození soustavy normálních rovnic.
4. Soustavy nelineárních rovnic, existence a jednoznačnosti řešení. Kontraktivní zobrazení,
metoda prosté iterace. Newtonova iterační metoda.
5. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic (ODR). Explicitní a implicitní Eulerova
metoda. Collatzova metoda.
6. Jednokrokové metody, lokální diskretizační chyba, globální chyba, řád metody.
7. Jednokrokové metody typu Runge-Kutty. Metody vyššího řádu.
8. Okrajová úloha pro lineární ODR 2. řádu v samoadjungovaném tvaru. Existence a
jednoznačnost řešení. Numerické řešení úlohy metodou sítí.
9. Princip metody sítí ve 2D, odvození náhrad pomocí Taylorova polynomu. Okrajová úloha pro
Poissonovu rovnici s Dirichletovou podmínkou. Řešení vzniklé soustavy lineárních rovnic.
Konvergence.
10. Formulace smíšené úlohy pro rovnici vedení tepla. Numerické řešení smíšené úlohy, explicitní a
implicitní schéma. Konvergence a stabilita metody.
11. Formulace smíšené úlohy pro vlnovou rovnici. Numerické řešení smíšené úlohy, explicitní a
implicitní schéma. Konvergence a stabilita metody.
12. Klasifikace lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu dvou nezávislých proměnných.
Otázky konvergence a odhady chyb
Osnova cvičení
1. Normy vektorů a matic. Matice ostře diagonálně dominantní (ODD) a symetrická pozitivně
definitní (SPD). Vlastní čísla a vektory matice, spektrální poloměr.
2. Prostá iterační metoda. Podmínky konvergence, výpočet postupných aproximací.
3. Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda. Podmínky konvergence, výpočet postupných
aproximací.
4. Aproximace metodou nejmenších čtverců.
5. Soustavy nelineárních rovnic. Newtonova metoda.
6. Cauchyova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Numerická aproximace
explicitní a implicitní Eulerovou metodou.
7. Cauchyova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Numerická aproximace
pomocí jednokrokových metod Runge-Kutta. Collatzova metoda.
8. Numerická aproximace vybraných úloh z technické praxe. Použití jednokrokových metod
Runge-Kutta. Collatzova metoda a metody vyššího řádu.
9. Okrajová úloha pro obyčejnou lineární diferenciální rovnice 2. řádu v samoadjungovaném
tvaru. Metoda sítí
.
10. Dirichletova okrajová úloha pro Poissonovu rovnici a její aproximace metodou sítí.
11. Smíšená úloha pro rovnici vedení tepla. Numerické řešení metodou sítí explicitním a
implicitním schématem.
12. Smíšená úloha pro vlnovou rovnici. Numerické řešení metodou sítí explicitním a implicitním
schématem.
Literatura
1. Benda, J., Černá, R.: Numerická matematika, doplňkové skriptum, FS ČVUT v Praze, 1991
2. Vitásek, F.: Numerické metody, SNTL, Praha, 1987

Požadavky
Numerické řešení soustav lineárních rovnic, klasické iterační metody a
gradientní metoda. Numerické řešení nelineárních algebraických rovnic. Metoda
nejmenších čtverců. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic,
počáteční a okrajová úloha. Numerické řešení základních lineárních parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí.
Klíčová slova
Numerická matematiky, metody lineární algebry, nelineární algebraické systémy, interpolace, aproximace, obyčejné diferenciální rovnice, okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice, metoda sítí.
data online/KOS/FS :: [Helpdesk] (hlášení problémů) :: [Obnovit] [Tisk] [Tisk na šířku] © 2011-2017 [CPS] v3.7 (master/180e4e5a/2019-10-09/02:51)