česky  čs
english  en
Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic, základy metody konečných prvků (W01A008)
Katedra:ústav technické matematiky (12101)
Zkratka:Schválen:16.05.2007
Platí do: ??Rozsah:60B
Semestr:LKredity:
Zakončení:ZKJazyk výuky:CS
Anotace
Matematická teorie metody konečných prvků. Vektorový, Banachův a Hilbertův prostor. Metrika, norma, lineární forma, bilineární forma, skalární součin. Holderova a Cauchyho nerovnost. Lax-Milgramova věta. L2 a Lp prostory, oblast se spojitou hranicí, s Lipschitzovsky spojitou hranicí. Prostory H1 a Wkp. Věty o vnoření, věty o stopách, nerovnost Poincare-Friedrichsova. Greenova věta. Věta o substituci. Duální prostor, reflexivita.

Základní princip metody konečných prvků. Ukázka použití v jednorozměrné eliptické úloze. Souvislost slabého a klasického řešení. Odhady chyb. Abstraktní variační formulace. Ritzova formulace. Galerkinova formulace. Věta o ekvivalenci. Existence a jednoznačnost řešení. Diskrétní Ritzova a Galerkinova formulace. Existence diskrétního řešení (vlastnosti matice tuhosti). Abstraktní odhad chyby.

Aplikace MKP na dvourozměrnou úlohu: Dirichletova úloha s homogenní okrajovou podmínkou. Slabá formulace. Řešení na jednoduché oblasti pomocí lineárních konečných prvků. Výpočet a sestavení matice tuhosti. Slabá formulace 2D problémů s různými okrajovými podmínkami: Dirichletovy, Neumannovy okr. podmínky. Vlastnosti slabé formulace. Konstrukce prostoru konečných prvků a volba báze. Matice tuhosti prvku a globální matice tuhosti; podstata algoritmizace, zobrazení na referenční trojúhelník, sestavení globální matice tuhosti.

Řešení diskrétní úlohy - soustavy lineárních rovnic. Přímé metody. Iterační metody. Gradientní metody. Předpodmiňování.

Aplikace metody konečných prvků: rovnice vedení tepla, vlnová rovnice, problém konvekce-difuze, lineární problém pružnosti, Stokesův problém a Navierovy-Stokesovy rovnice.
Osnova
1. - 3. Základní vlastnosti metody konečných diferencí pro parciální diferenciální rovnice.
4. - 6. Variační formulace okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice, slabé řešení,
matematické základy metody konečných prvků (MKP).
7. - 9. MKP pro eliptické, parabolické a hyperbolické rovnice. Příklady v 1D, 2D.
10. - 12. Algoritmizace v MKP. Ověřovací příklady pro individuální zpracování.
13. - 14. MKP pro nelineární úlohy. Software pro MKP. Ukázka aplikace MKP.
Osnova cvičení
1. - 3. Základní vlastnosti metody konečných diferencí pro parciální diferenciální rovnice.
4. - 6. Variační formulace okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice, slabé řešení,
matematické základy metody konečných prvků (MKP).
7. - 9. MKP pro eliptické, parabolické a hyperbolické rovnice. Příklady v 1D, 2D.
10. - 12. Algoritmizace v MKP. Ověřovací příklady pro individuální zpracování.
13. - 14. MKP pro nelineární úlohy. Software pro MKP. Ukázka aplikace MKP.
Literatura
P. Sváček and M. Feistauer. Metoda konečných prvků. Vydavatelství ČVUT, Praha, 2006.
C.Johnson: Numerical Solution of Partial Differential Equation by the Finite Element Method, Cambridge University Press, 1987
S.Míka, P.Přikryl: Numerické metody řešení parciálních diferenciálních rovnic, ZČU, Plzeň, 1995
E.Vitásek: Numerické metody, SNTL, Praha, 1987

Požadavky
Klíčová slova
Parciální diferenciální rovnice, metoda diferenční, metoda konečných prvků
data online/KOS/FS :: [Helpdesk] (hlášení problémů) :: [Obnovit] [Tisk] [Tisk na šířku] © 2011-2017 [CPS] v3.7 (master/180e4e5a/2019-10-09/02:51)