Notice: Undefined index: HTTP_ACCEPT_LANGUAGE in /var/www/kos.fs.cvut.cz/lib_locale.php on line 9

Notice: Undefined index: HTTP_ACCEPT_LANGUAGE in /var/www/kos.fs.cvut.cz/lib_locale.php on line 11
KOS.FS - fakultní nadstavba
  česky  čs
english  en
Parciální diferenciální rovnice (W01T003)
Katedra:ústav technické matematiky (12101)
Zkratka:Schválen:16.05.2007
Platí do: ??Rozsah:60
Semestr:ZKredity:
Zakončení:ZKJazyk výuky:CS
Anotace
Principy matematického modelování pomocí parciálních diferenciálních rovnic (PDR) a základy klasické a moderní teorie PDR. Moderní teorie je ilustrována na PDR 2. řádu eliptického typu a na PDR, vyskytujících se v matematických modelech užívaných v mechanice tekutin.
Osnova
1. Principy užití PDR při popisu stavů a procesů v kontinuu. Postup odvození transportní rovnice, rovnice vedení tepla a rovnice kontinuity.
2. Postup odvození Navierových-Stokesových rovnic, vlnové rovnice, Lamého rovnic a Maxwellových rovnic.
3. Užití Laplaceovy a Poissonovy rovnice v matematických modelech.
4. PDR 1. řádu - formulace počáteční nebo okrajové úlohy, princip analytického řešení.
5. Harmonické funkce a jejich vlastnosti (věta o střední hodnotě, princip maxima).
5. Úvod do klasické teorie PDR eliptického typu, Laplaceova a Poissonova rovnice, význam objemového potenciálu, potenciálu jednoduché vrstvy a potenciálu dvouvrstvy.
6. Úvod do klasické teorie PDR parabolického typu, rovnice vedení tepla, princip maxima, Fourierova metoda.
7. Úvod do klasické teorie PDR hyperbolického typu, vlnová rovnice, charakteristiky, oblast závislosti a oblast ovlivnění, Fourierova metoda.
8. Principy moderní teorie PDR. Distribuce a jejich derivace, zobecněná derivace.
9. Lebesgueův prostor L{2} a Sobolevův prostor W{1,2}. Skalární součin a norma v těchto prostorech.
10. Věta o stopách v prostoru W{1,2}. Zobecněná okrajová úloha pro eliptickou rovnici 2. řádu, slabé řešení.
11. Existence a jednoznačnost slabého řešení. Ekvivalence s variační úlohou nalezení minima kvadratického funkcionálu.
12. Galerkinova a Ritzova metoda přibližného řešení.
13. Slabá formulace počáteční-okrajové úlohy pro Navierovy-Stokesovy rovnice. Konstrukce aproximací.
14. Konvergence aproximací, existence slabého řešení, energetická nerovnost.

Osnova cvičení
1. Principy užití PDR při popisu stavů a procesů v kontinuu. Postup odvození transportní rovnice, rovnice vedení tepla a rovnice kontinuity.
2. Postup odvození Navierových-Stokesových rovnic, vlnové rovnice, Lamého rovnic a Maxwellových rovnic.
3. Užití Laplaceovy a Poissonovy rovnice v matematických modelech.
4. PDR 1. řádu - formulace počáteční nebo okrajové úlohy, princip analytického řešení.
5. Harmonické funkce a jejich vlastnosti (věta o střední hodnotě, princip maxima).
5. Úvod do klasické teorie PDR eliptického typu, Laplaceova a Poissonova rovnice, význam objemového potenciálu, potenciálu jednoduché vrstvy a potenciálu dvouvrstvy.
6. Úvod do klasické teorie PDR parabolického typu, rovnice vedení tepla, princip maxima, Fourierova metoda.
7. Úvod do klasické teorie PDR hyperbolického typu, vlnová rovnice, charakteristiky, oblast závislosti a oblast ovlivnění, Fourierova metoda.
8. Principy moderní teorie PDR. Distribuce a jejich derivace, zobecněná derivace.
9. Lebesgueův prostor L{2} a Sobolevův prostor W{1,2}. Skalární součin a norma v těchto prostorech.
10. Věta o stopách v prostoru W{1,2}. Zobecněná okrajová úloha pro eliptickou rovnici 2. řádu, slabé řešení.
11. Existence a jednoznačnost slabého řešení. Ekvivalence s variační úlohou nalezení minima kvadratického funkcionálu.
12. Galerkinova a Ritzova metoda přibližného řešení.
13. Slabá formulace počáteční-okrajové úlohy pro Navierovy-Stokesovy rovnice. Konstrukce aproximací.
14. Konvergence aproximací, existence slabého řešení, energetická nerovnost.

Literatura
- J.Fořt, J.Neustupa: Parciální diferenciální rovnice. Skriptum Fakulty strojní, Ediční středisko ČVUT, Praha 2004.
- L.C.Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, series "Graduate Studies in Mathematics", Vol. 19, New York 1997.
Požadavky
Klíčová slova
Parciální diferenciální rovnice, klasická teorie, moderní teorie, analytické řešení, slabé řešení, distribuce, zobecněné derivace, Sobolevovy prostory
data online/KOS/FS :: [Helpdesk] (hlášení problémů) :: [Obnovit] [Tisk] [Tisk na šířku] © 2011-2017 [CPS] v3.7 (master/94365653/2017-02-22/12:51)